多目標最佳化設計

在多目標最佳化問題中，每個子目標之間的最佳解往往是互相矛盾的。因 此，無法同時取得最佳解，甚至會產生完全對立的情況，此時就必須在每個子目 標之間進行協調，取得整體的最佳方案。設定目標函數時，絕大部分皆以最小化 為目標函數，若需要最大化時，只需對最小化設定為負值即可，如下所示:

( ) ( )

max .f X =min .− f X (4.7) 下列將介紹幾種解多目標函數的最佳化方法。

1、 統一目標法 a、 加權組合法

此方法必須先將每個子目標函數組合成整體的「統一目標函數」，在 此過程中各個子目標在重要程度、量級以及單位上有差異，所以可透過加 入權重的方式解決。

( )

^q i j

( )

j=1

X X

f =

∑

ω f (4.8) 其中 ω ：第 j 項子目標函數_i fj

( )

X 的權重，此值決定各個子目標的 數量級與重要程度。此方法主要是統一目標函數中的各項指標趨於在數量

級上達到統一平衡。權重的選取方式是透過已知的子目標函數 fj

( )

X 最佳 值與最差值的範圍。如下列所示

( )

j fj X j

α ≤ ≤ β

(

^{j 1, 2,= , q}

)

表示成

( )

^{j j}

j X

f β − α2

=

(

^{j 1, 2,= , q}

)

( 4 . 9 ) 該指標的權重為

( )

j 2

j

1 X f ω =  

(

^{j 1, 2,= , q}

)

( 4 . 1 0 )

透過此方法可將各目標不同的數量級達到統一平衡。因此，目標函數

( )

j X

f 變化範圍越大時，權重就必須取較小值；而變化範圍越小時，權重 就必須取較大值，如此才可達到各目標函數在數量級上的平衡。但是此方 法無法針對各個子目標的重要性給予權重。對於職業高爾夫球選手而言，

擊球距離比甜蜜區較為重要，對於一般打擊者而言，甜蜜區反而比擊球距 離更重要，所以不同打擊者所重視的目標皆不相同。因此，需要透過權重 的方式進行調配，而此方法無法給予權重進行調配，所以不適用於桿頭最 佳化設計。

b、 功效係數法

將每個子目標函數以功效係數η (j=1,2,….q)的表示方式，而此功效_j 係數必須定義於 0≤ η ≤ 間的函數，以1 η=1 表示最佳，以 η=0 表示最差，

以此方式表示每項目標函數的優劣，總功效係數為各係數的幾何平均值，

如下列所示：

q

1 2 q max

η = η ηi i iη → (4.11)

在上列式子中，η=1 表示為理想設計方案；反之，若 η= 0 表示此設 計方案無法接受，這表示若其中有一項子目標函數不理想(η= 0)，則此 總體設計方案無法接受。將總功效係數η作為統一目標函數 ^f

( )

^{X 表示為:}

( )

^X

f =η

=η = η η^q ₁i i i₂ η →_q max (4.12)

此方法可將各子目標的不同數量級與單位轉化為 0-1 間的數值，並且 若有任何一項子目標函數不理想(η= 0)時，其總功效係數 η必為零。而此 方法主要用於處理非最大目標函數值與最小目標函數值。因此，不適用於 桿頭最佳化設計中的最大重心深度、最小重心高度以及最大桿面面積。

c、 乘除法

將多目標函數最佳化問題中的全部 q 個子目標分成：目標函數越小越 好(桿頭重心高度)與目標函數越大越好(桿頭重心深度、甜蜜區)兩種，則 統一目標函數可表示為：

( )

^s j

( )

j=1 q

j j=s+1

X X

(X) f f

f

=

∑

∑

(4.13)

( )

^{X min}

f → 可得到最佳解。

此方法雖然可得到最佳解，但是無法根據重視程度不同求得最佳解。

因此，不適用於桿頭最佳化設計上。

2、折衷規劃法

本研究中桿頭最佳化之目標函數分別為最小重心高度、最大重心深度以 及最大甜蜜區三個目標函數，此為多目標最佳化函數問題。而多目標最佳化 問題的目標函數是由許多子目標所建構而成的向量，並取得此向量的最大值 或最小值，如下列式子所示：

( )

( ) ( )

( )

1

2

n

x min . F x x

x f f

f

 

 

 

=  

 

 

 

(4.14)

多目標最佳化函數往往會遇到性質不同與重視程度不同兩種問題，對於 性質不同的解決方法是將所有子目標函數正規化；重視程度不同則由權重解 決，因此將可改成下列公式：

1 1

1

1,max 1

2 2

2

2,max 2

i i

i

i,max i

F

f f

f f

f f

f f

f f

f f

∗

∗

∗

∗

∗

∗

α − 

 − 

 

 − 

α 

=  − 

 

 

 − 

α 

 − 

 

(4.15)

其中， f 為各子目標函數 _i

fi^∗為各子目標函數最佳值

i,max

f 為各子目標函數最差值 α 為第 i 個子目標函數的權重值 i

在上列公式中所有的 f_i^∗與 f_i,max所對應的設計點皆為此多目標最佳化問 題的 Pareto 最佳解，如下列所示：

f^∗ ≤ ≤f f (4.16)

所以

i i

i,max i

0 f f 1

f f

∗

∗

≤ − ≤

− (4.17)

其中， ^{i i}

i,max i

f f

f f

∗

∗

−

− 沒有單位，故此為正規化處理。

Pareto 最佳解主要是在現有的設計點上改進某一個子目標，則必須在其 他子目標上有所犧牲，而此現有的設計點在某種意義上為最佳解。但是 Pareto 最佳解不只一個，事實上在一般多目標最佳問題中，Pareto 最佳解通 常是連續且無限多個。因此，必須使用折衷規劃法。

折衷規劃法主要目的是依設計者本身的設計需求，折衷各個子目標，找 到最接近理想值的折衷解。折衷規劃法的數學模型如下列所示：

( )

1 s s n

s i i

i

i=1 i,max i

min . F x f f

f f

∗

∗

 − 

 

=

∑

α −  (4.18)

上式中 s 為目標函數中的指數，當 s 為 1 表示各子目標線性相加，如下 列所示：

3 3

1 1 2 2

1 2 3

1,max 1 2,max 2 3,max 3

F f f f f f f

f f f f f f

∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗

−

− −

= α × + α × + α ×

− − − (4.19)

其中α 為權重值 _i

本研究中，桿頭最佳化設計為多目標最佳化問題，分別為最大重心深度 (X )、最低重心高度(_cg Z )以及最大甜蜜區(A)。 _cg

在權重設定方面，設計者若無明確的給定權重，將會對設計後的結果造 成相當大的影響，因此在多目標最佳化問題中，必須由分析層級程序的方法

測量設計者心中的權重值，不該由設計者模糊的定義，此分析層級程序可幫 助設計者有系統的量測各個子目標在心中重要的比例。

「分析層級程序」利用「配對比較」的方法將子目標兩兩比較各相對重 要性，形成配對比較矩陣，求出此矩陣的特徵向量，表示為各個子目標間相 對的優先度比重。

在桿頭最佳化中的三個目標函數，分別為重心深度 (X )、重心高度_cg (Z )以及甜蜜區(A)，權重分別為_cg α 、₁ α 以及₂ α ，理想的配對矩陣如下列₃ 所示：

cg cg

11 12 13 cg 1 1 1 2 1 3

21 22 23 cg 2 1 2 2 2 3

31 32 33 3 1 3 2 3 3

X Z A

D X

Z A

α α α α α α α α α

   

=α α α = α α α α α α 

α α α  α α α α α α 

   

(4.20)

理想的配對比較矩陣乘上一個由所有 子目標權重值所組成的向量

[

1 2 n

]

^T

α = α α … α ，可得到下列式子：

1 1 1 2 1 n 1 1

2 1 2 2 2 n 2 2

n 1 n 2 n n n n

n

α α α α α α α α

     

α α α α α α   α  α

   =  

     

α α α α α α   α  α

     

…

…

…

(4.21)

可表示成

( )

Dα = α ⇒n D nI− α = (4.22) 0

其中，α為矩陣 D 的特徵向量。

在文檔中 M09208026 Bn G} h EQ| ~ C t OGPu{s mWG DGyY]p h j (頁 75-81)